Für die Wissenschaft. Für Berlin.

Kopfsache

Für die Mathematikerin Hélène Esnault von der Freien Universität Berlin entsteht Mathematik vor allem im Kopf. Ihr Kollege Michael Joswig von der Technischen Universität Berlin sieht Computer als unentbehrliche Helfer. Ein Streitgespräch unter Einstein-Professoren.


Wir wollen über moderne Mathematik reden. Was ist Mathematik eigentlich, Herr Joswig?

Joswig: Das Beschäftigen mit Abstraktion. Die Motivation dafür kann von einer Anwendung kommen, also einem konkreten Problem. Oder sie kommt aus der Mathematik selbst. Es gibt ja eine jahrhundertealte Tradition mathematischer Fragestellungen. Und man kann da etwas finden, das einem auffällt, das einem Spaß macht. Etwas ästhetisch Wertvolles, das einem am Herzen liegt.

Frau Esnault, was hat Sie zur Mathematik gebracht?

Esnault: Für viele war Physik die Motivation. Bei mir war es anders. Mich hat immer die Schönheit der gedanklichen Konstruktion fasziniert. Wenn man die Gedanken richtig zusammenfügt, ist das so, als ob man ein Gedicht schreibt. Ein Wort passt genau an eine bestimmte Stelle. Sobald man es ein bisschen verschiebt, fällt das Ganze auseinander. Dieser Anspruch, Gedanken mit großer Schärfe zu einem Gedicht zusammenzufügen, das war mein Weg zur Mathematik.

Sie vergleichen Mathematik mit Lyrik. Sind Mathematiker wirklich Künstler?

Esnault: Ja und nein! Im Gegensatz zu Künstlern haben wir Mathematiker ein Wahrheitskriterium. Aber Mathematik treiben gleicht dennoch einem künstlerischen Prozess. Wenn wir einen mathematischen Beweis entwickeln, haben wir nichts Fassbares in der Hand. Der Vorgang des Nachprüfens ist nur intellektuell. Das ist nicht einfach zu beschreiben. Man spürt, dass ein Weg vielleicht wichtig sein könnte. Man weiß es aber noch nicht und prüft einige Sachen nach. Und irgendwann, vielleicht nachts im Traum, wird man geweckt. Dann stabilisiert sich das Ganze und man hat das Gefühl, das könnte irgendwie stimmen. Das ist ein Moment des Glücks.

Es gibt Probleme, an denen sich Mathematiker seit Langem vergeblich die Zähne ausbeißen. Ist es denkbar, dass dafür jemand eines Tages eine Lösung findet, die so elegant und einfach ist, dass alle sagen: Mensch, da hätte ich auch drauf kommen können?

Esnault: Wenn es eine einfache Lösung gibt, dann hätte man sie sicher längst gefunden. Die ganz großen Beweise der letzten 50 Jahre in meinem Gebiet zeigen das: die Weil-Vermutung von Pierre Deligne, die Mordell-Vermutung von Gerd Faltings und die Fermatsche Vermutung von Andrew Wiles – für deren Lösung bedarf es der gesamten algebraischen und arithmetischen Geometrie des 20. Jahrhunderts. In allen drei Fällen waren die Fragestellungen einfach, aber die Antworten gehen sehr tief.

Joswig: Ein anderes Beispiel ist die Poincaré-Vermutung, da gab es ein gewisses Vorgeplänkel. Die Werkzeuge zu ihrem Beweis waren sicher zehn, 15 Jahre im Schwange. Es kam darauf an, diese mit besonderem Geschick einzusetzen. Das ist das Verdienst von Gregori Perelman.

Sie haben beide mit Mathematik begonnen, als es das Internet noch nicht gab. Wie hat sich Ihre Arbeit seitdem verändert?

Esnault: Ich muss nicht mehr mit Mathematikern am selben Ort sein, um mit ihnen zusammenzuarbeiten. Der Informationsaustausch ist flüssiger geworden. Ich finde das wesentlich besser als früher. Ich kann sogar einen mathematischen Satz googeln und weiß sofort, ob ein Problem neu oder vielleicht schon gelöst ist.

Herr Joswig, wie werden Ihre Doktoranden in 20 Jahren arbeiten?

Joswig: Jeder Mathematiker wird diese Frage wohl etwas anders beantworten. Aber schon heute spielen Computer eine wichtige Rolle in meiner Arbeit und in der meiner Doktoranden. Viele Probleme aus der angewandten Mathematik können wir nur noch mit dem Rechner lösen. Weil Computer und Software aber immer leistungsfähiger werden, können wir heute auch Probleme der reinen Mathematik mit Computern angehen. Das finde ich ausgesprochen interessant.

Welches Rätsel der reinen Mathematik haben Sie denn schon mit dem Computer gelöst?  

Joswig: Ich habe mal gemeinsam mit einem Doktoranden versucht, einen Satz zur Lösbarkeit bestimmter Polynomgleichungssysteme zu beweisen. Wir haben das per Induktion gemacht. Wir konnten vereinfacht gesagt zeigen, dass der Satz für alle Zahlen ab n+1 gilt, wenn er für die Zahl n gilt. Diesen Induktionsschritt haben wir per Hand gemacht. Aber uns fehlte der Anfang. Wir kannten keine Zahl n, für welche die Behauptung zutrifft. Wir hatten aber eine ungefähre Vorstellung, wo der Induktionsanfang liegen könnte. Und dann haben wir den Computer benutzt, um diesen Anfang zu finden, was uns tatsächlich gelungen ist.

Frau Esnault, glauben Sie, dass Mathematiker auch in 50 Jahren noch mit Stift und Papier arbeiten werden?

Esnault: Es wird künftig viel auf dem Computer passieren – aber Stift und Papier wird es weiterhin geben. Stift und Papier sind dabei nur ein Bild. Das richtige Bild ist der Kopf. Denn Mathematik ist ein intellektueller Prozess, der zuallererst im Kopf stattfindet. Das Medium, mit dem man Gedanken visualisiert, kann sich ändern. Die Araber haben im Sand geschrieben, die Chinesen auf Leder. Wir schreiben auf Papier, manche aber auch nur an die Tafel. Aus gutem Grund: Irgendwann sind ihre Gedanken so kompliziert, dass sie nicht mehr nur im Kopf zu überschauen sind.

Timothy Gowers, der im Projekt Polymath Mathematiker übers Internet gemeinsam Probleme lösen lässt, sagt: In 50 Jahren werden Computer die besseren Mathematiker sein. Übertreibt er damit?

Esnault: Es kommt drauf an, was man mit Computern macht. Meist versucht man, sein Beweiskonzept zu zerstückeln, füttert den Computer damit und schaut, wie weit er kommt. Aber trotzdem muss jemand da sein, der den Beweis zerlegt. Der Computer beschleunigt ein Verfahren, aber er erfindet es nicht. Ein Computer kann auch nicht unendlich viele Fälle untersuchen. Etwa prüfen, ob eine Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt. Das würde ja unendlich lange dauern.
 
Herr Joswig, sehen Sie das genauso?

Joswig: Das Beispiel mit den unendlich vielen Fällen zeigt, dass es gewisse Sätze gibt, die ein Computer grundsätzlich nicht beweisen kann. Aber es gibt inzwischen immer mehr Beweise, bei denen Computer eine zentrale Rolle spielen. Zum Beispiel die Keplersche Vermutung von Thomas Hales. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, Kugeln im Raum anzuordnen, welche aber ist die dichteste? Unendlich viele Möglichkeiten hätte kein Computer untersuchen können. Hales nutzte aus, dass man gar nicht unendlich viele Fälle anschauen muss, sondern dass endlich viele reichen. Dies hatte zuvor László Fejes Tóth gezeigt.

Esnault: Ja, man hat in solchen Fällen erst einen klassischen Beweis, der die Zahl der zu untersuchenden Fälle reduziert. Aber ich kann Ihnen mehrere aktuelle Probleme nennen, bei denen das zumindest nach heutigem Wissensstand unvorstellbar ist. In dem Moment, wo man mit dem Computer loslegt, muss man das Problem schon halb gelöst haben.

Joswig: Der Computer kommt als Hilfsmittel aber auch noch auf eine andere Weise ins Spiel. Nämlich als System zur Unterstützung von Beweisen, die von Menschen stammen. Das aktuell beste Beispiel dafür ist wiederum Thomas Hales und sein Computerbeweis der Kepler-Vermutung. Dieser war ja durchaus umstritten, weil er praktisch nicht überprüft werden konnte. Doch nun hat Hales die logische Konsistenz seines Computerbeweises von einer darauf spezialisierten Software überprüfen lassen. Man muss konstatieren, dass sein Beweis damit auf wesentlich sichereren Füßen steht als manche klassischen Sätze aus der Mathematik.

Moment, es gibt Beweise, deren Richtigkeit nicht mit letzter Gewissheit geklärt ist?

Joswig: Ja, zum Beispiel die Klassifikation der endlichen Gruppen, sie wurde circa 1980 abgeschlossen. Der Beweis umfasst 10.000 Druckseiten, viele Mathematiker waren beteiligt. Es gibt seit Jahrzehnten ein Projekt, daraus ein Buch zu machen. Dabei wurden immer wieder Lücken im Beweis gefunden. Sie konnten bislang alle geschlossen werden. Aber ob der Beweis am Ende Bestand haben wird, ist sehr viel unklarer als bei der Kepler-Vermutung. Da sehe ich die Hauptrolle der Computer.


Weil Mathematik immer komplizierter wird, nutzt man solche Beweissysteme, um sicherzugehen, dass alles zu 100 Prozent stimmt.

Esnault: Alle von Ihnen erwähnten Beispiele sind algorithmisch, also gut in Computersprache übersetzbar. In all diesen Fällen hat man genau die Axiomatik verstanden, die zu dem Beweis führt. Wir stehen jetzt aber vor riesigen Vermutungen, von denen wir nicht wissen, was der entscheidende Punkt beim Beweis sein wird. Der Computer weiß es erst recht nicht.

So hat man früher auch über Schachcomputer geredet. Dann hat man ihnen alle Partien der Welt eingetrichtert – und nun spielen sie besser als die Weltmeister. Warum soll so etwas nicht in der Mathematik gelingen?

Joswig: So etwas gibt es ja bereits in einer sehr frühen Form: das Projekt Theorema. Bruno Buchberger versucht dabei, Hunderte mathematischer Beweise aus allen möglichen Teilgebieten wie Analysis, Algebra, algebraische Geometrie, Kombinatorik zu abstrahieren. Bislang kann man damit nichts Komplizierteres auch nur annähernd beweisen. Aber es genügt für Probleme, die wir bei der Vorlesung Lineare Algebra im ersten, zweiten Semester mit Studenten besprechen.

Esnault: Da stimme ich dir völlig zu – bis auf einen Punkt: Bei allen von mir erwähnten Beweisen kam der Erfolg daher, dass es eine grundlegend neue Idee gab. Deligne hat den Begriff der Gewichte in der arithmetischen Geometrie entwickelt. Kein Geometer, kein Arithmetiker heutzutage kommt ohne sie aus. Wie soll eine solche völlig neue Idee in einem Computer entstehen?

Hirnforscher wollen das Gehirn so detailliert wie möglich nachbauen, um endlich der Intelligenz auf die Spur zu kommen. Ein solcher Computer könnte doch neue Ideen entwickeln ...

Joswig: Vermutlich wird es in den nächsten 30 Jahren kein Programm geben, das so etwas kann und von sich aus irgendetwas Substanzielles beweist. Aber ob das in 100 Jahren noch so sein wird, da bin ich mir nicht so sicher.

Esnault: Ich bin da skeptisch. Es sind oft auch Zufälle, die hinter neuen Ideen stecken. Und das ist sehr schwer mit einem Computer darzustellen. Können wir wirklich alles simulieren? Wie verliebt man sich? Ich glaube nicht, dass man das wirklich mit einem Computer herausfinden kann.


Interview: Holger Dambeck

Bilder: Pablo Castagnola

-->