Projektergebnisse

Dabei handelt es sich um ein mathematisches Grundlagenforschungsprojekt, bei dem das Fachwissen des Stipendiaten und die bereits vorhandenen personellen Ressourcen der Arbeitsgruppe Diskrete Geometrie der Freien Universität Berlin (und anderer Arbeitsgruppen sowohl an der FU Berlin als auch an der TU Berlin) sowie die durch das Einstein-Stipendium finanzierten neuen Mitglieder zusammengeführt werden sollen.

Die Forschungsthemen gehören zu den aktuellen Trends in der Diskreten Geometrie und fallen in zwei Forschungslinien: die Kombinatorik und Geometrie von Gitterpolytopen und vereinfachten
und Zellkomplexe.

Polytope, der Fachbegriff für das, was wir gemeinhin als Polyeder bezeichnen, gehören zu den ältesten Studienobjekten der Mathematiker und gehen auf mesopotamische und griechische Gelehrte zurück. In drei Dimensionen ist unser Wissen über sie ziemlich vollständig, aber in höheren Dimensionen gibt es viele Dinge, die wir gerne besser verstehen würden. Einige der Fragen, die im Rahmen des Projekts untersucht wurden, waren:

• Wie groß kann der kombinatorische Durchmesser eines Polytops in Bezug auf die Anzahl seiner Facetten sein? Die Hirsch-Vermutung (die besagt, dass man mit einer Anzahl von Schritten, die der Anzahl der Facetten entspricht, von jedem beliebigen Punkt zu jedem beliebigen anderen Punkt gelangen kann) wurde 2010 vom Fellow widerlegt, aber die polynomiale Version dieser Vermutung ist noch völlig offen und hätte wichtige Konsequenzen für die Komplexitätsanalyse der linearen Programmierung, insbesondere für die 9. von Steven Smales „ Mathematical Problems for the 21st Century“.
• Gitterpolytope, d. h. Polytope mit ganzzahligen Koordinaten für ihre Eckpunkte, sind in der algebraischen Geometrie (sie sind die Newton-Polytope multivariater Polynome) und in der Optimierung (sie sind die Durchführbarkeitsbereiche ganzzahliger linearer Programme) von Bedeutung. In beiden Kontexten sind verschiedene geometrische Eigenschaften von Interesse. Wir haben Fragen untersucht wie die maximale Breite, die sie in einer festen Dimension haben können, wenn man ihnen verbietet, innere Gitterpunkte zu haben, wie stark man sie ausdehnen muss, um den Raum mit ihnen durch ganzzahlige Translationen zu bedecken, oder ein Gitteranalogon von Hilberts drittem Problem: welche Bedingungen sind notwendig und ausreichend, damit zwei Gitterpolytope die Eigenschaft haben, dass eines in eine endliche Anzahl von Stücken geschnitten und die Stücke neu angeordnet werden können, um das andere zu bilden. Im Zusammenhang mit Gitterpolytopen ist die natürliche Bedeutung von „umgeordnet“, dass unimodulare Transformationen (affine Transformationen, die das Gitter erhalten) erlaubt sind.
• Ein simplizieller Komplex kann als kombinatorische Abstraktion der (teilweise geordneten) Menge von Flächen eines Poytops betrachtet werden. Wir haben uns mit extremen Fragen zu diesen Komplexen beschäftigt, insbesondere mit einer Erdös-Ko-Rado-Eigenschaft, von der wir annehmen, dass sie alle reinen, fahnenartigen simpliziellen Komplexe haben. Dies wäre eine weitreichende Verallgemeinerung einer Vermutung von Kalai in Bezug auf das Assoziaeder (eine dreieckige Kugel, deren Facetten in Bijektion zu vollständigen binären Bäumen und anderen Strukturen stehen, die in der Coxeter-Kombinatorik häufig vorkommen). Wir haben auch die Separationseigenschaften von dreidimensionalen Sphären untersucht, mit dem Ziel, untere Schranken für die $f$-Vektoren einiger spezieller Klassen von triangulierten 4-Mannigfaltigkeiten (gestapelt, benachbart, gleichförmig, transitiv, usw.) zu finden.

Die Einstein-Gruppe hat vier internationale Workshops mit insgesamt etwa 350 Teilnehmern organisiert. Das Projekt hat zu drei Dissertationen geführt: Jorge Olarte (FU-Berlin, 2019), Giulia Codenotti (FU-Berlin, 2020) und Francisco Criado (TU-Berlin, 2020), sowie mehr als 40 Publikationen.

(Übersetzt aus dem englischen Original.)